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El número N es exactamente divisible por 7. Tiene 4008 dígitos. Leyendo de izquierda a derecha, los primeros dígitos de 2003 son todos 2s, el siguiente dígito es n, y los últimos dígitos de 2004 son 8s. ¿Cuál es el (los) posible (s) valor (es) de n?

Si no me equivoco, esto fue un problema del UKMT Senior Maths Challenge hace algunos años. Si de ahí lo obtuviste, entiendo tu pregunta, ya que la solución en el libro es, creo, bastante insatisfactoria.

Recuerde que su número [matemática] N [/ matemática] puede escribirse en el formulario

[matemáticas] 2 \ cdot 10 ^ 0 + 2 \ cdot 10 ^ 1 + \ cdots + 2 \ cdot 10 ^ {2002} + n \ cdot 10 ^ {2003} + 8 \ cdot 10 ^ {2004} + 8 \ cdot 10 ^ {2005} + \ cdots + 8 \ cdot 10 ^ {4007} \ tag * {} [/ math]

Observe también que los poderes de [math] 10 [/ math] forman la secuencia recurrente

[matemáticas] 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, \ cdots \ tag * {} [/ matemáticas]

cuando está escrito en [math] \ mod 7 [/ math]. Por eso podemos escribir

[matemáticas] N \ equiv 2 (1 + 3 + 2 + \ cdots + 2 + 6 + 4) + 5n + 8 (1 + 3 + 2 + \ cdots + 4 + 5) \ pmod {7} \ tag * { }[/matemáticas]

Esto se debe a que tenemos [math] 2002 \ equiv 4 \ pmod {6} [/ math] para poder calcular los valores del módulo [math] 7 [/ math] de esas potencias de [math] 10 [/ math]. Esto se simplifica a

[matemática] N \ equiv 2 (-5) + 5n +8 (0) \ equiv -3 + 5n \ pmod {7} \ tag * {} [/ matemática]

Se nos dice que [math] N \ equiv 0 \ pmod {7} [/ math] para que podamos resolver [math] n [/ math] para obtener [math] n \ equiv 2,9 \ pmod {7} [ / matemáticas] que significa [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] n = 9 [/ matemáticas].


Por supuesto, este problema se puede responder de manera más sucinta al notar que cualquier cadena consecutiva de [matemática] 6k [/ matemática] dígitos iguales es divisible por [matemática] 7 [/ matemática], pero no creo que esto sea necesariamente un obvio observación para hacer.

Necesitamos comenzar desde la divisibilidad por la regla 7: que es agrupar los dígitos a partir de las unidades colocadas en grupos de 3 dígitos, y encontrar la diferencia entre la suma de grupos en posiciones pares e impares. Si la diferencia es divisible por 7, el número original es divisible por 7. Explicado de la siguiente manera:

Si el número es nmlkjihgfedcba , se agrupa en conjuntos de tres rendimientos:

nm / lkj / ihg / fed / cba

La suma de números en posiciones impares es ( S_odd ): cba + ihj + nm

La suma de los números en las posiciones pares es ( S_even ): fed + lkj

Si la diferencia S_odd S_even es divisible por 7, el número original nmlkjihgfedcba también es divisible por 7.


El número dado es: 2222222 ……… ..2N888888 ……… 8888888

Después de agrupar en conjuntos de 3, aparecería como:

222/222 / … ../ 22N / 888/888 / …… / 888.

Contando desde la izquierda, 22N está en la posición (2004/3), es decir, 668a tríada.

S_odd , es decir, la suma de las tríadas posicionadas de forma impar sería (888 * 334) + ( 22N ) + (222 * 333)

S_odd = (888 * 334) + ( 22N ) + (222 * 333)

= (888 * 334) + (200 + 20 + N) + (222 * 333)

= (888 * 334) + (220 + N) + (222 * 333) => [Eq1]

S_incluso , es decir, la suma de las tríadas incluso posicionadas sería (888 * 334) + (222 * 334)

S_even = (888 * 334) + (222 * 334) = > [Eq2]

caso 1; S_even> S_odd

S_even menos S_odd será positivo y divisible por 7.

(888 * 334) + (220 + N) + (222 * 333) – (888 * 334) – (222 * 334) para ser divisible por 7.

220 + N – 222 será divisible por 7.

N – 2 será divisible por 7 => N = 9

caso-2; S_odd> S_even

S_odd menos S_even para ser positivo y divisible por 7.

(888 * 334) + (222 * 334) – (888 * 334) – (220 + N) – (222 * 333) para ser divisible por 7.

222 – 220 – N será divisible por 7.

2-N es divisible por 7, que no tiene ninguna solución, ya que 2-N tiene que ser un número entero positivo.

Por lo tanto, solo existe una solución, N = 9.

Editar: Referido las respuestas proporcionadas. Es necesario considerar N-2 = 0 también para el caso S_odd = S_even . Por lo tanto, N = 2 sería una segunda solución.

Para [math] d \ in \ {0,1,2, \ ldots, 9 \} [/ math] y [math] n \ in \ mathbb N [/ math], deje que [math] d_n = \ underbrace {d \ ldots d} _ {n \: \ text {veces}} [/ math].

Recuerde que para primo [matemática] p [/ matemática] y cualquier [matemática] a \ in \ mathbb Z [/ matemática], [matemática] p \ mid (a ^ {p-1} -1) [/ matemática], y también [math] p \ mid (a ^ {k (p-1)} – 1) [/ math] para todos [math] k \ in \ mathbb N [/ math] siempre que [math] p \ nmid a [/matemáticas]. Como [math] 6 [/ math] divide tanto [math] 2004 [/ math] como [math] 4008 [/ math],

[matemáticas] N = 2_ {2003} \, n \, 8_ {2004} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2_ {4008} + 6_ {2004} + (n-2) \ cdot 10 ^ {2004} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2} {9} (10 ^ {4008} -1) + \ dfrac {6} {9} (10 ^ {2004} -1) + (n-2) \ cdot 10 ^ { 2004} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv n-2 \ pmod {7} [/ matemáticas].

Como [matemática] 7 \ mid N [/ matemática], debemos tener [matemática] n = 2 [/ matemática] o [matemática] 9 [/ matemática]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

2 y 9 son las soluciones.

El número es 2222 … (2003 veces) n 8888 (2004 veces). Digamos que el número es Z.

déjame dividir el número como 2222 … (2003 veces) x 10 ^ 2005 + 8888 (2004 veces) + nx 10 ^ 2004

a = 2222 … (2003 veces) x 10 ^ 2005

b = 8888 … (2004 veces)

c = nx 10 ^ 2004

222222/7 = 31746

es decir, 222222 mod 7 = 0

Ahora

a = (222222 x 10 ^ 1997 + 222222 x 10 ^ 1991 +… +… + 222222 x 10 ^ 17 + 222222 x 10 ^ 11 + 222222 x 10 ^ 5 +22222) x 10 ^ 2005

en la definición de a, todos los términos excepto el último término son divisibles por 7.

es decir

un mod 7 = 22222 x 10 ^ 2005 mod 7 =

De la misma manera para b,

888888/7 = 126984

es decir, 888888 mod 7 = 0

Ahora ,

b = (888888 x 10 ^ 1998 + 888888 x 10 ^ 1992 +… +… +888888 x 10 ^ 18 + 888888 x 10 ^ 12 + 888888 × 10 ^ 6 +888888

en la definición de b, todos los términos son divisibles por 7.

Entonces, b mod 7 = 0

c = nx 10 ^ 2004

Z mod 7 = (a + b + c) mod 7

es decir (22222 x 10 ^ 2005 + nx 10 ^ 2004) mod 7

es decir. 10 ^ 2004 x (222220 + n) mod 7

Ahora tenemos que encontrar el valor de n tal que el resto sea cero.

10 ^ 2004 no puede dejar un resto cero cuando se divide por 7.

Entonces, 222220 + n debería ser divisible por 7,

Como se discutió anteriormente, 222222 es cero, entonces n puede ser 2.

222222 mod 7 = 0

entonces, (222222 +7) mod 7 = 0

entonces los valores posibles de n son 2 y 9.

2 o 9 .

Para saber si un número es divisible por 7, lo dividimos en números de tres dígitos comenzando de derecha a izquierda.

Por ejemplo, el número 5,677,843,858 se divide en 5, 677, 843, 858.

Luego alternamos signos de estos números y sumamos los resultados.

En nuestro ejemplo es 5–677 + 843–858 = -687.

Si el resultado es divisible por 7, el número en sí también es divisible por 7 y viceversa.

-687 no es divisible por 7, entonces 5,677,843,858 tampoco es divisible por 7.

Sin embargo, si aplicamos la misma regla para el número a 6,677,843,858, la suma será 6–677 + 843–858 = -686. -686 es divisible por 7, así es 6.677.843.858.

Ahora apliquemos este método al número que se parece a los dos años de 2003, seguido del dígito N, seguido de los ochos de 2004.

Oh, a la derecha de la N tenemos 2004/6 = 334 grupos de 888-888, la suma de esos es cero.

Para los primeros dígitos de 2004 (más a la izquierda) tenemos 334 grupos similares donde 333 números son 222 con signos alternos y 22N. Para que esta suma sea divisible por 7, N debe ser 2 (entonces la suma será 0) o 9 (entonces la suma será 7).

Buena pregunta.

Lo creas o no, el número [matemática] 111111 [/ matemática] es divisible por 7. De hecho, cualquier número que comprenda [matemática] 6k [/ matemática] es divisible por 7, donde [matemática] k [/ matemática] es cualquier entero positivo. (¿Puedes probar la oración anterior?) Dado que 2004 es, de hecho, divisible por 6, el número [matemático] p [/ matemático] que contiene ochos 2004 es divisible por 7. Por el mismo razonamiento, el número [matemático] q [/ matemáticas] que contiene 2004 dos también es divisible por 7.

Por lo tanto, [math] q \ times 10 ^ {2004} + p [/ math] es divisible por 7. Y este es el número [math] N [/ math] solicitado en la pregunta con [math] n = 2 [/ matemáticas].

Si [math] q [/ math] se incrementara en 7, entonces [math] q \ times 10 ^ {2004} + p [/ math] aún sería divisible por 7. Esto significa que si [math] n = 9 [/ matemática], entonces [matemática] N [/ matemática] también sería divisible por 7. Además, si [matemática] n [/ matemática] es cualquier dígito que no sea 2 o 9, entonces [matemática] q [/ matemática ] no sería divisible por 7, y tampoco lo sería [math] N [/ math].

Por lo tanto, para que [matemática] N [/ matemática] sea divisible por 7, [matemática] n [/ matemática] debe ser [matemática] 2 [/ matemática] o [matemática] 9 [/ matemática].

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